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A代码#include using namespace std;using ll = long long;bool solve() { int n, m; cin >> n >> m; ll suma = 0, sumb = 0; for (int i = 1, x;i <= n;i++) cin >> x, suma += x; for (int i = 1, x;i <= m;i++) cin >> x, sumb += x; if (suma > sumb) cout << "Tsondu" << "\n"; else if (suma < sumb) cout << "Tenzing" << "\n"; else cout << "Draw" << "\n"; return true;}int main() { std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0); int t = 1; cin >> t; while (t--) { if (!solve()) cout << -1 << "\n"; } return 0;}
B代码#include using namespace std;using ll = long long;bool solve() { int n, x; cin >> n >> x; int sum = 0; for (int i = 0;i < 3;i++) { bool ok = 1; for (int j = 1;j <= n;j++) { int val; cin >> val; ok &= (x | val) == x; if (ok) sum |= val; } } if (sum == x) cout << "YES" << "\n"; else cout << "NO" << "\n"; return true;}int main() { std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0); int t = 1; cin >> t; while (t--) { if (!solve()) cout << -1 << "\n"; } return 0;}
C题目给定一个长为 \(n\) 的数组 \(a\) ,其中元素 \(a_i \in[1,n]\) 代表颜色。
(资料图片仅供参考)
现在有一种操作:选择两个颜色相同的不同位置 \(i,j\) ,然后删除 \([i,j]\) 这一段,删除操作会影响下标。
问最多能删除多少元素。
题解知识点:线性dp。
设 \(f_{i}\) 表示 \([1,i]\) 最多能删除的元素个数,有转移方程:
\[f_i = \max\limits_{j:a_j = a_i} \{ f_{j-1} + i-j+1 \}\]我们要优化这个转移,实际上我们只需要维护 \(\max\limits_{j:a_j = a_i} \{ f_{j-1} -j+1 \}\) 即可。
设 \(mx_j\) 表示在 \([1,i-1]\) 中颜色为 \(j\) 的所有位置 \(f_{j-1}-j+1\) 的最大值,每次求完 \(f_i\) 更新 \(mx_{a_i}\) 即可。
时间复杂度 \(O(n)\)
空间复杂度 \(O(n)\)
代码#include using namespace std;using ll = long long;int a[200007];int mx[200007];int f[200007];bool solve() { int n; cin >> n; for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i], mx[i] = -1e9; for (int i = 1;i <= n;i++) { f[i] = max(f[i - 1], mx[a[i]] + i); mx[a[i]] = max(mx[a[i]], f[i - 1] - i + 1); } cout << f[n] << "\n"; return true;}int main() { std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0); int t = 1; cin >> t; while (t--) { if (!solve()) cout << -1 << "\n"; } return 0;}
D题目有 \(n\) 个朋友,编号为 \(1\) 到 \(n\) ,我们需要和他们玩最多 \(n^2\) 轮游戏,每轮游戏需要选择其中的一些人一起玩,并选择要玩多久,要求是:
\(1\) 号朋友必须被选中。\(n\) 号朋友不能被选中。所有人玩的时间需要遵守 \(m\) 条约束。一条约束描述为三个整数 \(u,v,y\) ,表示朋友 \(u\) 或朋友 \(v\) 单独被选中玩的时间的总和不能超过 \(y\) 。
问在如此约束下,最多能玩多久,构造一个满足的方案,并给出这个方案要玩几轮,以及每轮游戏选中了哪些人玩了多久。
题解知识点:差分约束,构造。
由于 \(n\) 一定不会被选中,而 \(1\) 必须被选中。因此我们考虑将点分成两个集合:
集合 \(A\) 表示能和 \(1\) 一起玩的。集合 \(B\) 表示不能和 \(1\) 一起玩的。初始时,集合 \(B\) 只有 \(n\) ,剩下的都在集合 \(A\) 。
显然,集合 \(A\) 的朋友是可以一起玩的,但玩到一定时间会因为和 \(n\) 的约束,有一些朋友就不能继续玩了,于是从集合 \(A\) 中移出放入集合 \(B\) ,剩下的继续玩。这个过程会逐步将朋友从 \(A\) 移到 \(B\) 。
实际上,我们考虑每个朋友 \(u\) 移入 \(B\) 的时间 \(T_u\) ,那么对于任意两个有约束的朋友 \(u,v\) 需要满足 \(|T_u -T_v| \leq y\) 。对于这个问题,我们将朋友看作点,约束看作带权无向边,那么就构造了一个差分约束系统,用最短路即可解决,起点是 \(n\) 。
我们在最短路过程中, \(dis_u\) 即为 \(T_u\) 。点一旦被确定距离,意味着这个时刻将点移出 \(A\) ,一旦 \(1\) 被确定就立刻结束。我们需要记录点被移出 \(A\) 的顺序,顺序上相邻的两个点的距离差,就是这轮还未被放进集合 \(B\) 的点玩的时间。
时间复杂度 \(O((n+m)\log m)\)
空间复杂度 \(O(n+m)\)
代码#include using namespace std;using ll = long long;vector> g[107];int n, m;ll dis[107];bool vis[107];struct node { int v; ll w; friend bool operator<(const node &a, const node &b) { return a.w > b.w; }};priority_queue pq;vector ord;void dijkstra() { for (int i = 1;i <= n;i++) dis[i] = 2e18, vis[i] = 0; dis[n] = 0; pq.push({ n,0 }); while (!pq.empty()) { int u = pq.top().v; pq.pop(); if (vis[u]) continue; ord.push_back(u); vis[u] = 1; if (vis[1]) break; for (auto [v, w] : g[u]) { if (vis[v]) continue; if (dis[u] + w < dis[v]) { dis[v] = dis[u] + w; pq.push({ v,dis[v] }); } } }}int main() { std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0); cin >> n >> m; for (int i = 1;i <= m;i++) { int u, v, w; cin >> u >> v >> w; g[u].push_back({ v,w }); g[v].push_back({ u,w }); } dijkstra(); if (!vis[1]) { cout << "inf" << "\n"; return 0; } cout << dis[1] << " " << ord.size() - 1 << "\n"; for (int i = 1;i < ord.size();i++) { string s(n, "1"); for (int j = 0;j < i;j++) s[ord[j] - 1] = "0"; cout << s << " " << dis[ord[i]] - dis[ord[i - 1]] << "\n"; } return 0;}
E题目给定 \(k\) ,确定了平面直角坐标系中一条直线 \(x+y = k\) 。
给出 \(n\) 个点 \((x_i,y_i)\) ,满足坐标是整数且 \(0 \leq x_i,y_i,x_i+y_i 现在有两个操作: 问删掉所有点最少花费是多少。 知识点:线性dp,线段树。 容易发现,我们选择删除的三角形区域最终是不相交的,否则可以合并。同时,三角形可以通过其左上角和右下角的纵坐标唯一确定,那么一个三角形就可以映射到纵坐标上的一个线段。现在,问题就变成在纵坐标上选择一些不相交的线段,使得线段对应的三角形位置删除、其他位置单点删除后,花费最小。这是一个类似最小多个子段和的问题,因此我们可以从上到下dp解决。 为了方便,我们先将 \(y\) 坐标处理为 \(k-y\) ,这样点的坐标就从 \(0 \sim k-1\) 映射到 \(k\sim 1\) 。 设 \(f_{i}\) 表示删除纵坐标 \(\leq i\) 的点的最小花费,那么有转移方程: 其中: 第一项表示,从 \(i\) 行往上都用一个三角形删除。 第二项表示,第 \(i\) 行全都单点删除。 第三项表示,从 \(i\) 行往上到 \(j+1\) 行用一个三角形删除,从 \(j\) 行往上不变。 但这导致了,坐标满足 \(0 \leq x \leq j-1, j+1 \leq y\leq i\) 的点没有考虑到,而这些点不可能被三角形覆盖,因此全都选择单点删除的花费。 考虑优化第三项。我们用线段树维护 \(j \in[1,i-1]\) 的 最小值。其中,求和项可以每层区间加递推。因为区间 \([1,i-1]\) 可能是导致 \([1,0]\) 不合法区间,取默认值为 \(0\) 即可,此时第三项结果为 \(iA\) ,不会产生错误答案。 每次最后我们需要将 \(f_[i]-iA\) 加到线段树位置 \(i\) 上。 最后,答案即为 \(f[k]\) 。 当然,为了避免不合法区间的出现,可以选择将第二项放到线段树的位置 \(i\) 上,最后更新的时候取 \(f[i]\) 和线段树位置 \(i\) 的最小值更新即可。实际上,线段树也能维护整个第三项,默认值设为无穷大即可,但更新的时候会有点麻烦,要把新的值覆盖无穷大的值。 这两个实现虽然不会产生不合法的区间,但区间加实现常数会大一点,可以选择专门写一个函数操作。 另一个类似的思路:假设都用单点删除,去dp将一部分改为三角形删除的贡献改变量的最小值(是负的),最后用单点删除的总和加上这个最小值即可。 时间复杂度 \(O((n+k) \log k)\) 空间复杂度 \(O(n+k)\)#include
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